Funkcja kwadratowa – definicja

Funkcja kwadratowa (f) to taka funkcja, w której wzorze:

• musi występować x^2,
• może występować x,
• może występować liczba stała.

 

Współczynnik przy czynniku x² w funkcji kwadratowej musi być różny od zera. Czynniki b oraz c mogą być dowolne – mogą być także zerami.

 

Ogólny wzór funkcji kwadratowej:

aR\{0}

b,c R – współczynniki funkcji kwadratowej

 

Przykłady funkcji kwadratowej

f(x)= x²

f(x)= 3x²+

f(x)=(x-1)(x+3)

choć na pierwszy rzut oka nie widać we wzorze x², to wymnażając nawiasy, przekształcimy wzór funkcji do postaci ogólnej: f(x)=x²+2x-3

 

Dziedzina funkcji kwadratowej:

Dziedzina funkcji kwadratowej to zbiór liczb rzeczywistych

 

Wyróżnik funkcji kwadratowej:

Wyróżnikiem funkcji kwadratowej nazywamy inaczej deltę –

Postacie funkcji kwadratowej

Ta sama funkcja kwadratowa może zostać zapisana w różnych postaciach. Do wyboru mamy trzy warianty:

• postać ogólną,
• postać kanoniczną,
• postać iloczynową.

 

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

a,b,c – współczynniki liczbowe

 

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

a,p,q – współczynniki liczbowe

p,q – współrzędne wierzchołka paraboli

 

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:

a – współczynnik liczbowy,

x₁, x₂ – miejsca zerowe funkcji

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres każdej funkcji kwadratowej to parabola. Parabola składa się z wierzchołka i ramion paraboli, które mogą być skierowane w dół lub w górę w zależności od wartości współczynnika  we wzorze funkcji kwadratowej.

Jeśli:

• to ramiona paraboli skierowane są do góry,
• to ramiona paraboli skierowane są w dół.

Wierzchołek paraboli (W) możemy obliczyć, korzystając z ogólnego wzoru funkcji kwadratowej.

  p,q – współrzędne wierzchołka

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej nazywamy każdy argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.

To, ile funkcja kwadratowa będzie mieć miejsc zerowych uzależnione jest od wartości

Jeśli:

• – nie ma miejsc zerowych
• – jedno miejsce zerowe,
• – dwa miejsca zerowe.

 

Jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej  

Kiedy delta jest równa zero miejsce zerowe obliczamy z wzoru

Dwa miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Przy delcie większej od zera stosujemy dwa wzory na dwa miejsca zerowe

 

Ważne

Kiedy funkcja kwadratowa występuje pod postacią iloczynową to jej miejsca zerowe możemy odczytać bez korzystania z wzoru. Wystarczy rzucić okiem bezpośrednio na jej wzór.

Miejsca zerowe to x₁ oraz x₂