Wyobraź sobie kolejno ustawione po sobie obiekty – możemy je nazwać ciągiem obiektów. Podobnie jest z ciągami liczbowymi. Jest to rodzaj ciągów, w których kolejne wyrazy stanowią liczby.

 

Wyróżniamy nie tylko ciągi liczbowe, ale także np.:

  • ciąg prostych,
  • ciąg wielokątów.

 

Przykłady:

  1. Ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych dodatnich: ciągi liczbowe 1
  2. Ciąg kolejnych przybliżeń ciągi liczbowe 2
  3. Ciąg naprzemienny liczb dodatnich i ujemnych: ciągi liczbowe 3

Wszystkie powyższe ciągi powstawały zgodnie z ustaloną regułą.

 

Wyrazy ciągu

Wyrazami ciągu są kolejne liczby w ciągu, które powstały zgodnie z ustaloną regułą. Dla ciągu liczb trójkątnych: 1,3,6,10,15 wyrazami ciągu są kolejno liczby: 1, 3, 6, 10, 15.

 

Ważne: Każda funkcja, którą dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, jest ciągiem nieskończonym. Możemy jednak spotkać także ciągi skończone, których dziedziną jest zbiór skończony – ciąg: ciągi liczbowe 4 to ciąg n-wyrazowy.

Ciąg – sposoby określania ciągu

Ciągi możemy opisać na różne sposoby. Jednym z najczęściej spotykanych jest posiłkowanie się wzorem ogólnym ciągu. Wzór ten pozwala obliczyć wartość dowolnego wyrazu dla tego ciągu.

 

Przykładowe wzory ogólne ciągów:

  1. ciągi liczbowe 5
  2. ciągi liczbowe 6

 

Monotoniczność ciągu

Kiedy ciąg jest rosnący, malejący lub stały możemy go nazwać ciągiem monotonicznym.

 

  • Ciąg ciągi liczbowe 7 jest ciągiem rosnącym, jeśli dla każdej liczby ciągi liczbowe 8 zostanie spełniona nierówność ciągi liczbowe 9
  • Ciąg ciągi liczbowe 7 jest ciągiem malejącym, jeśli dla każdej liczby ciągi liczbowe 8 zostanie spełniona nierówność ciągi liczbowe 10

 

  • Ciąg ciągi liczbowe 7 jest ciągiem stałym, jeśli wszystkie wyrazy ciągu są równe.

 

  • Ciąg ciągi liczbowe 7 jest ciągiem malejącym, jeśli dla każdej liczby ciągi liczbowe 8 zostanie spełniona nierówność ciągi liczbowe 10
  • Ciąg ciągi liczbowe 7 jest ciągiem niemalejącym, jeśli dla każdej liczby ciągi liczbowe 8 zostanie spełniona nierówność ciągi liczbowe 11
  • Ciąg ciągi liczbowe 7 jest ciągiem nierosnącym, jeśli dla każdej liczby ciągi liczbowe 8 zostanie spełniona nierówność ciągi liczbowe 12

Ważne: Każdy ciąg rosnący będzie ciągiem niemalejącym. Podobnie każdy ciąg malejący będzie ciągiem nierosnącym.

Badanie monotoniczności ciągu

Aby udowodnić, że dany ciąg jest rosnący, należy udowodnić, że dla każdego n zachodzi:

ciągi liczbowe 13

 

Analogicznie tak samo działamy, kiedy chcemy udowodnić, że ciąg ciągi liczbowe 21 jest malejący, stały, niemalejący czy nierosnący.

ciągi liczbowe 14

 

Przykład 

Należy wykazać, że ciąg ciągi liczbowe 15 jest rosnący

W pierwszej kolejności należy wyznaczyć wyraz ciągi liczbowe 16

ciągi liczbowe 17

Następnie należy wyznaczyć różnicę ciągi liczbowe 18

ciągi liczbowe 19

Z powyższego wynika, że ciągi liczbowe 20 co oznacza, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym.