Funkcją wymierną określamy funkcję będącą ilorazem dwóch wielomianów. Wielomiany mogą być różnego stopnia: 1-ego, 2-ego itd. W funkcji wymiernej może pojawić się suma kilku wyrażeń wymiernych. Poniżej przedstawiamy Ci przykładowe funkcje wymiernych:
- f(x)=2x
w liczniku wielomian 0 stopnia, w mianowniku wielomian 1-go stopnia
- f(x)=3x-3×3+x2-2x
w liczniku wielomian 1-ego stopnia, w mianowniku wielomian 3-ego stopnia
- f(x)=x2-4x+1
w liczniku wielomian 2-ego stopnia, w mianowniku wielomian 1-ego stopnia
Wzór na funkcję wymierną wygląda następująco:
f(x)=w(x)p(x)
w(x) – wybrany wielomian
p(x) – wielomian niezerowy
Dziedzina funkcji wymiernej
Jeśli wiesz, jak wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego, wyznaczanie dziedziny funkcji wymiernej nie przysporzy Ci większego problemu. Robimy to bowiem w ten sam sposób:
- wyznaczamy miejsca zerowe wielomianu p(x),
- miejsca zerowe wyrzucamy z dziedziny funkcji.
Przykład
Dana jest funkcja f(x)=-62x-14
z mianownika funkcji wyznaczamy miejsce zerowe:
2x-14=0
2x=14/2
x=7
Dziedziną powyższej funkcji f(x)=-62x-14 jest zbiór liczb rzeczywistych: ℝ\{7}
Funkcja wymierna a wielomiany
Skoro funkcją wymierną nazywamy funkcję będącą ilorazem dwóch wielomianów, warto odświeżyć najważniejsze informacje właśnie o wielomianach.
Wielomiany – definicja
Wielomianem określamy najczęściej funkcję jednej zmiennej w potędze 3 lub wyższej. Co jednak ważne, wielomianem możemy także nazwać dwumian, a także jednomian. Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym, które składa się z jednej liczby bądź jednej czy kilku liter. Przykładami jednomianów są np. 6x, 102, 12a2
Dwumianem jest z kolei wyrażenie algebraiczne, które składa się z dwóch jednomianów. Są one ze sobą połączone znakiem dodawania, bądź odejmowania. Przykładami dwumianów są: x-3, 4×2+5x, x2+y
Kolejno możemy wymieniać także trójmiany (złożone z trzech jednomianów połączonych znakiem dodawania lub odejmowania), czworomiany czy pięciomiany. Przyjęło się jednak, że zamiast kolejnego wyliczania używamy po prostu określenia: wielomian.
Wielomian stopnia n zmiennej x to wyrażenie postaci:
anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0
an,an-1,a2,a0- ustalone liczby rzeczywiste, nℕ i an0
Aby obliczyć wartości liczbowe wielomianów, należy podstawić w miejsce x podaną liczbę. Wielomiany obliczamy tak samo, jak wartości funkcji i wartości wyrażeń algebraicznych.
Przykład
W(x)=x2+3x-6
argument x=5
Aby obliczyć wartość liczbową wielomianu, należy podstawić w miejsce x podany argument:
w(5)=52+35-6=25+15-6=34
Wartość wielomianu to 34.
