Liczbami rzeczywistymi nazywamy zbiór wszystkich liczb – zarówno wymiernych, jak i niewymiernych. Do ich oznaczenia wykorzystujemy symbol:

 

Przy omawianiu liczb rzeczywistych warto powrócić do podstawowych informacji o rodzajach liczb. Wyróżniamy m.in.:

  • liczby naturalne,
  • liczby całkowite,
  • liczby wymierne,
  • liczby niewymierne.

 

Poniższa tabelka przedstawia wszystkie te liczby wraz z ich definicją, oznaczeniem oraz przykładami.

 

Nazwa Definicja Oznaczenie Przykłady
Naturalne liczby całkowite dodatnie oraz 0 (inaczej całkowite nieujemne) 1, 2, 256, 1236
Całkowite liczby naturalne i ich ujemne odpowiedniki 1, -7, 29, -8956
Wymierne liczby, które można zapisać w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, w ich przypadku mianownik musi być różny od zera 1,4  10  -1220,7   0,(3)   –
Niewymierne liczby, których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych liczby rzeczywiste 1, liczby rzeczywiste 2, liczby rzeczywiste 3
Rzeczywiste wszystkie liczby wymierne i niewymierne -4,1, liczby rzeczywiste 4, liczby rzeczywiste 1

 

 

Liczby rzeczywiste możemy śmiało nazwać rozszerzeniem zbioru liczb wymiernych.

Liczbami rzeczywistymi mogą więc być:

  • liczby naturalne,
  • liczby ujemne,
  • ułamki zwykłe,
  • ułamki dziesiętne – także te o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym,
  • liczby niewymierne – liczby rzeczywiste 3. liczby rzeczywiste 5.

Działania na liczbach rzeczywistych

Na liczbach rzeczywistych możemy wykonywać wszystkie podstawowe działania arytmetyczne:

  • dodawanie i odejmowanie,
  • mnożenie i dzielenie – oprócz dzielenia przez zero,
  • potęgowanie i pierwiastkowanie – jeśli wykładnik i stopień pierwiastka są odpowiednie.

Możliwe jest także porównywanie liczb rzeczywistych.

Liczby niewymierne

Między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi znajdziemy liczby niewymierne. Przykładem takiej liczby jest liczby rzeczywiste 1. Skąd wiemy, że liczba ta jest niewymierna?

 

Aby udowodnić, że liczba liczby rzeczywiste 1 jest niewymierna, warto na chwile założyć, że jest zupełnie odwrotnie. Jeśli tak by było, to znaczyłoby, że:
liczby rzeczywiste 8m,n – liczby całkowite,
liczby rzeczywiste 9

Ostatnia z równości nie może być prawdziwa, ponieważ oznaczałaby, że przy rozkładzie na czynniki pierwsze liczba 2 występuje parzystą liczbę razy po prawej stronie i nieparzystą po lewej. W takiej sytuacji otrzymujemy sprzeczność.

 

Powyższy dowód niewymierności liczby rzeczywiste 1 jest dowodem przez sprowadzenie do sprzeczności. Dowód na sprowadzenie do sprzeczności polega na udowodnieniu, że przyjęcie prawdziwości jakiegoś zdania prowadzi do sprzeczności.

Liczby rzeczywiste w życiu codziennym

Liczby rzeczywiste towarzyszą nam na każdym kroku. To właśnie dzięki nim możliwe jest dokonywanie wszelkich płatności, obliczeń długości czy wykonywanie innych pomiarów. Liczby rzeczywiste użyjemy do określenia naszej wysokości, wieku, a nawet numeru PESEL.