Przekątną sześcianu nazywamy odcinek, który łączy dwa przeciwległe wierzchołki tego wielokąta. Co ważne odcinki te nie mogą być bokami sześcianu. Sześcian ma cztery przekątne. Jej długość obliczamy ze wzoru:

d=a3

d – przekątna

a – długość boku sześcianu

 

Jeśli zapomnisz wzór na długość przekątnej sześcianu, możesz także skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Przekątna sześcianu wraz z przekątną kwadratu jednego boku i długością jednej krawędzi sześcianu tworzy trójkąt prostokątny.

 

krawędź sześcianu: a

przekątna kwadratu w podstawie: a2

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa a2+b2= c2, możemy zapisać:

a2+(a2)2=d2

a2+2a2=d2

3a2=d2

d=a3

lub

d=-a3

Wiedząc, że przekątna nie może mieć ujemnej długości, wybieramy pierwsze rozwiązanie: d=a3

Sześcian – najważniejsze informacje

Aby utrwalić informacje o przekątnej sześcianu, przypomnij sobie definicję samego sześcianu i najważniejsze wzory dla tego graniastosłupa.

 

Sześcian jest graniastosłupem posiadającym wszystkie ściany w formie kwadratu. Także podstawy tego graniastosłupa są takimi samymi kwadratami.

Sześcian posiada:

• 12 krawędzi,
• 8 wierzchołków,
• 6 ścian,
• 4 przekątne.

 

Sześcian to szczególny przypadek graniastosłupa prawidłowego prostego. Graniastosłupem prawidłowym z kolei określamy taki graniastosłup prosty, który w swoich podstawach ma wielościan foremny.

 

Wielościan foremny to rodzaj wielościanu posiadający wszystkie ściany tej samej długości, a ponadto wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary.

 

Sześcian jest równocześnie graniastosłupem prostym, co oznacza, że wszystkie jego ściany są prostokątami tworzącymi z podstawami kąt prosty.

 

Polem powierzchni całkowitej każdego wielościanu jest suma pól powierzchni bocznej i pól podstawy. Jeśli podstawami sześcianu są takie same kwadraty, jak te znajdujące się w ścianach bocznych to pole powierzchni sześcianu obliczamy ze wzoru:

P=6a2

Pole powierzchni całkowitej jest sumą powierzchni wszystkich sześciu ścian tego graniastosłupa. Jako że wszystkie ściany mają taką samą powierzchnię i są kwadratami, wzór jest tak prosty.

 

Objętość sześcianu liczymy ze wzoru:

V=a3

a – długość krawędzi sześcianu

 

W sześcian możemy również wpisać kulę. Kiedy to zrobimy, możemy obliczyć długość promienia tej kuli. Wystarczy wówczas skorzystać ze wzoru:

r=12a

 

Kulę możemy nie tylko wpisać w sześcian, ale także opisać na sześcianie. Aby obliczyć promień tej bryły, należy skorzystać z następującego wzoru:

R=12d

Znając wzór na przekątną sześcianu, pod d we wzorze na promień kuli, możemy podstawić następujące wartości:

R=12a3