Równania kwadratowe – czym są?

Zapoznając się ze specyfiką równań kwadratowych, warto powrócić do wiedzy o równaniach liniowych. W przypadku równań liniowych niewiadoma x występuje zawsze w pierwszej potędze. Inaczej jest w przypadku równań kwadratowych – tutaj niewiadoma x występuje w drugiej potędze – . Współczynniki równania kwadratowego są nazywane kwadratowymi, liniowymi i stałymi.

 

Ważne: Równanie kwadratowe może wystąpić również pod nazwą: równanie drugiego stopnia.

 

Aby obliczyć równanie kwadratowe, należy wyznaczyć wszystkie liczby, spełniające dane równanie. W praktyce oznacza to, że należy odszukać liczby, które po podstawieniu pod x pozwolą uzyskać równość prawdziwą.

 

Równanie kwadratowe może mieć:

• jedno rozwiązanie,
• dwa rozwiązania,
• nie mieć rozwiązań wcale.

 

Przykłady równań kwadratowych:

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Sposób rozwiązania równania:

Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie:

 

Rozwiązanie równania kwadratowego występują również pod nazwą pierwiastki równania kwadratowego.

Równania kwadratowe w postaci ogólnej

Postać ogólna równania kwadratowego wygląda następująco:

a, b, c – współczynniki liczbowe
a0

 

Do obliczania równania kwadratowego możemy wykorzystać wzór na deltę:

 

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania jeśli , wówczas:

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, jeśli , wówczas:

Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, jeśli

Proste równania kwadratowe

Najprostszą formę równania kwadratowego możemy zapisać:

a – dowolna liczba rzeczywista

 

W zależności od wartości a, równanie to może mieć:

• jedno rozwiązanie,
• dwa rozwiązania,
• nie mieć wcale rozwiązań.

 

1. jeśli , to równanie ma jedno rozwiązanie:
2. jeśli , to równanie ma dwa rozwiązania: i
3. jeśli , to równanie nie ma rozwiązania.

 

Przykład:

lub

Rozwiązanie równania to lub

 

lub

7 jest liczbą niewymierną, dlatego rozwiązanie równanie pozostawiamy w postaci takiej, jaka została przedstawiona powyżej:

Równania, które można sprowadzić do równań kwadratowych

W przypadku równań dwukwadratowych istnieje możliwość przekształcenia na równania kwadratowe.

 t – nowa niewiadoma, t  0

poprzez wykorzystanie nowej niewiadomej t, początkowe równanie możemy zapisać:

Gdy powyższe równanie będzie miało dwa rozwiązania, to korzystamy z równań