Wyobraź sobie kolejno ustawione po sobie obiekty – możemy je nazwać ciągiem obiektów. Podobnie jest z ciągami liczbowymi. Jest to rodzaj ciągów, w których kolejne wyrazy stanowią liczby.
Wyróżniamy nie tylko ciągi liczbowe, ale także np.:
- ciąg prostych,
- ciąg wielokątów.
Przykłady:
- Ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych dodatnich:
- Ciąg kolejnych przybliżeń
- Ciąg naprzemienny liczb dodatnich i ujemnych:
Wszystkie powyższe ciągi powstawały zgodnie z ustaloną regułą.
Wyrazy ciągu
Wyrazami ciągu są kolejne liczby w ciągu, które powstały zgodnie z ustaloną regułą. Dla ciągu liczb trójkątnych: 1,3,6,10,15 wyrazami ciągu są kolejno liczby: 1, 3, 6, 10, 15.
Ważne: Każda funkcja, którą dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, jest ciągiem nieskończonym. Możemy jednak spotkać także ciągi skończone, których dziedziną jest zbiór skończony – ciąg: to ciąg n-wyrazowy.
Ciąg – sposoby określania ciągu
Ciągi możemy opisać na różne sposoby. Jednym z najczęściej spotykanych jest posiłkowanie się wzorem ogólnym ciągu. Wzór ten pozwala obliczyć wartość dowolnego wyrazu dla tego ciągu.
Przykładowe wzory ogólne ciągów:
Monotoniczność ciągu
Kiedy ciąg jest rosnący, malejący lub stały możemy go nazwać ciągiem monotonicznym.
- Ciąg jest ciągiem rosnącym, jeśli dla każdej liczby zostanie spełniona nierówność
- Ciąg jest ciągiem malejącym, jeśli dla każdej liczby zostanie spełniona nierówność
- Ciąg jest ciągiem stałym, jeśli wszystkie wyrazy ciągu są równe.
- Ciąg jest ciągiem malejącym, jeśli dla każdej liczby zostanie spełniona nierówność
- Ciąg jest ciągiem niemalejącym, jeśli dla każdej liczby zostanie spełniona nierówność
- Ciąg jest ciągiem nierosnącym, jeśli dla każdej liczby zostanie spełniona nierówność
Ważne: Każdy ciąg rosnący będzie ciągiem niemalejącym. Podobnie każdy ciąg malejący będzie ciągiem nierosnącym.
Badanie monotoniczności ciągu
Aby udowodnić, że dany ciąg jest rosnący, należy udowodnić, że dla każdego n zachodzi:
Analogicznie tak samo działamy, kiedy chcemy udowodnić, że ciąg jest malejący, stały, niemalejący czy nierosnący.
Przykład
Należy wykazać, że ciąg jest rosnący
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć wyraz
Następnie należy wyznaczyć różnicę
Z powyższego wynika, że co oznacza, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym.