Funkcja homograficzna to funkcja wymierna:

f(x)=ax+bcx+d

c0

ad-cb0

Dziedzina funkcji homograficznej to zbiór liczb rzeczywistych: ℝ:-dc

Przeciwdziedzina funkcji homograficznej to zbiór liczb rzeczywistych: ℝ:ac

Miejsce zerowe funkcji homograficznej: x0=-ba. Kiedy jednak b=0 to funkcja nie ma miejsca zerowego.

 

Funkcją homograficzną nazywamy także funkcję, która przyjmuje następującą postać:

f(x)=ax

Wykres funkcji homograficznej

Wykres funkcji homograficznej stanowi hiperbola. Hiperbola ta ma dwie asymptoty – asymptotę pionową i asymptotę poziomą.

 

Asymptota pozioma hiperboli jest funkcją stałą. Wyrażamy ją wzorem: f(x)=ac.

Asymptota pionowa hiperboli zależy od dziedziny. Wyrażamy ją wzorem: x=-dc.

Monotoniczność funkcji homograficznej

Funkcja monotoniczna to taka funkcja, która jest rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca oraz stała. Posiadając wykres funkcji, możemy łatwo ustalić, jaka jest funkcja – stała, rosnąca czy malejąca.

Funkcję nazywamy stałą, gdy dla każdego x przyjmuje taką samą wartość. Funkcję nazywamy rosnącą, kiedy wraz ze wzrostem argumentów wzrastają również wartości funkcji. Funkcję nazywamy malejącą, kiedy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

 

Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości – z wyjątkiem punktu x=-dc – rosnąca lub malejąca.

 

Funkcja homograficzna jest rosnąca w przedziałach (-,0) oraz (0,+) dla a<0.

 

Funkcja homograficzna jest malejącą w przedziałach (-,0) oraz (0,+) dla a>0

monotoniczność ta występuje dla funkcji homograficznej wyrażonej wzorem: f(x)=ax

Pozostałe własności

  1. Jeśli zmniejszymy wartości a, hiperbola zbliży się do osi układu.
  2. Jeśli zwiększymy wartości a, hiperbola oddali się od osi układu.
  3. Jeśli a mają wartości dodatnie, wykres danej funkcji jest położony w I i III ćwiartce układu współrzędnych.
  4. Jeśli a mają wartości ujemne, wykres danej funkcji jest położony w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.

Rysowanie wykresu hiperboli

Hiperbolą nazywamy wykres funkcji f(x)=ax, który składa się z dwóch części. Pierwszą część stanowi przedział od minus nieskończoności do 0 – jest on otwarty. Druga część z kolei to przedział od zera do plus nieskończoności – ten przedział także jest otwarty.

 

Jako że wykres funkcji homograficznej stanowi hiperbola, warto wiedzieć jak takową nanieść na układ współrzędnych. Przed narysowaniem należy wyznaczyć kilka punktów dla x>0 oraz x<0. Im więcej wyznaczymy punktów, tym dokładniejszy będzie wykres hiperboli. Kolejnym krokiem jest narysowanie hiperboli, której asymptoty stanowią osie układu współrzędnych.