Funkcję logarytmiczną nazywamy rodzaj funkcji przyjmującej następujący wzór:

f(x)=logax

a>0

a1

x>0

 

Wykres funkcji logarytmicznej stanowi krzywa przecinająca się zawsze na osi OX dla argumentu x=1. Oś OY z kolei jest asymptotą pionową wykresu funkcji f(x)=logax.

 

Zanim przejdziemy do sposobu rozwiązywania zadań z funkcjami logarytmicznymi, przypomnijmy sobie najważniejsze informacje o logarytmach.

Logarytm – najwazniejsze informacje

Przyjmijmy, że a i b są liczbami dodatnimi. Ponadto a1. Logarytmem liczby b przy podstawie a jest wykładnik potęgi, do której musimy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b. Logarytm ten zapisujemy następująco:

logab=x, kiedy ax=b

a – podstawa logarytmu,

b – liczba logarytmowana

 

Logarytmem liczby b przy podstawie a jest taka liczba c, że po podniesieniu a do potęgi c otrzymamy liczbę b.

logab=c

 

Metoda obliczania logarytmów wygląda następująco:

log28=x

2x=8

 

Przykłady

log28=?

log28=3, ponieważ 23=8

 

Funkcja logarytmiczna – wykres funkcji

Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa, a jej ostateczny kształt uzależniony jest od tego, czy a>1, czy a<1.

 

Kiedy a>1, to:

• dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych – ℝ+
• zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych,
• funkcja logarytmiczna jest rosnąca,
• funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa,
• miejscem zerowym funkcji jest x=1,
• funkcja nie jest parzysta,
• funkcja nie jest nieparzysta.

 

Kiedy a<1, to

• dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych – ℝ+
• zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych,
• funkcja jest malejąca,
• funkcja jest różnowartościowa,
• miejscem zerowym tej funkcji jest x=1,
• funkcja nie jest parzysta,
• funkcja nie jest nieparzysta.

Funkcja logarytmiczna – dziedzina

Kiedy w podstawie logarytmu bądź w liczbie logarytmowanej pojawi się wyrażenie z x, to należy określić dziedzinę tej funkcji logarytmicznej. Na poniższym przykładzie przedstawiamy, w jaki sposób to zrobić.

 

Przykład

Dana jest funkcja logarytmiczna:

f(x)=2-log2(10x+3)

Liczba logarytmowana zawsze jest liczbą dodatnią. Możemy więc zapisać:

10x+3>0

x>-310

Z powyższego wynika, że dziedziną funkcji logarytmicznej jest: x(-310,+).

 

Aby logarytm mógł istnieć, muszą zostać spełnione trzy warunki – nazywane założeniami lub dziedziną logarytmu.

Założenia logarytmu:

• podstawa logarytm musi być liczbą dodatnią (a>0),
• podstawa jest różna od 1 (a1),
• liczba logarytmowana musi być dodatnia (b>0)