Jedynką trygonometryczną określamy tożsamość geometryczną, która przyjmuje postać:

wzory trygonometryczne 1

Jedynka trygonometryczna – dowód dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicje funkcji trygonometrycznych mówią nam, że:

proste równania trygonometryczne 1
proste równania trygonometryczne 2
strzałka
jedynka trygonometryczna 1

Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że:

jedynka trygonometryczna 2
w poniższym wzorze podstawiamy jedynka trygonometryczna 3 za jedynka trygonometryczna 4
jedynka trygonometryczna 5

Tangens i cotangens – wzory

Dla wybranego, dowolnego kąta zachodzą wzory:

  • wzory trygonometryczne 2
  • wzory trygonometryczne 5
  • wzory trygonometryczne 6
    strzałka w górę
    Dla wybranego kąta ostrego funkcje trygonometryczne muszą być określone, aby zaszły powyższe wzory.Wzory te są prawdziwe dla każdego kąta ostrego, a także dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone – czyli kiedy nie pojawia się w mianowniku dzielenie przez zero.

Wzory dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Znając wartość minimum jednej funkcji trygonometrycznej, możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji. Możemy to zrobić, korzystając z poniższych wzorów.

  • proste równania trygonometryczne 1
  • proste równania trygonometryczne 2
  • proste równania trygonometryczne 3
  • jedynka trygonometryczna 6
  • jedynka trygonometryczna 7
  • jedynka trygonometryczna 8

Przykład

Dany jest sinus jedynka trygonometryczna 9. Ile wynosi jedynka trygonometryczna 10 oraz jedynka trygonometryczna 11?

Zgodnie z jedynką trygonometryczną:

jedynka trygonometryczna 12

Kolejnym krokiem jest obliczenie jedynka trygonometryczna 13, należy więc skorzystać z wzoru na tangensa:

jedynka trygonometryczna 14

 

W następnej kolejności obliczamy jedynka trygonometryczna 15. Tu również korzystamy z wzoru na cotangens:

jedynka trygonometryczna 16

Z powyższych obliczeń otrzymujemy:

jedynka trygonometryczna 17

Sinus, cosinus, tangens, cotangens – definicje

Poznałeś wzór na jedynkę trygonometryczną, a także na tangens i cotangens. Aby w pełni zrozumieć schematy obliczeń, warto powrócić do podstawowych definicji, by je utrwalić.

 

Sinusem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej.

 

Cosinusem kąta określamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży przy kacie do długości przeciwprostokątnej.

 

Tangensem kąta określamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży naprzeciw kąta do długości drugiej przyprostokątnej, która z kolei leży przy tym kącie.

 

Cotangensem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży przy kącie do długości drugiej przyprostokątnej, leżącej naprzeciw tego kąta.

 

Wszystkie powyższe stosunki są określane funkcjami trygonometrycznymi kąta .

Ważne: Wszystkie stosunki nie zależą od wielkości trójkąta, a wyłącznie od kąta .