Równanie trygonometryczne to rodzaj równania, w którym niewiadomą jest argument funkcji trygonometrycznej.

Stosunki boków trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, w trójkącie prostokątnym to stosunki długości boków tego trójkąta. Z ich stosowaniem mamy do czynienia nie tylko na lekcji matematyki, ale także w życiu codziennym. Warto więc się z nimi zapoznać.

 

  1. W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej określamy sinusem kąta.
    proste równania trygonometryczne 1
  2. Cosinusem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży przy kącie do długości przeciwprostokątnej.
    proste równania trygonometryczne 2
  3. Tangensem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży naprzeciwko kąta do długości przyprostokątnej, która leży przy tym kącie.
    proste równania trygonometryczne 3
  4. Cotangensem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży przy tym kącie, do długości przyprostokątnej, która leży naprzeciwko kąta.

ctg =ca

Wszystkie oznaczenia przyprostokątnych i przeciwprostokątnej, a także kąta znajdziesz na poniższym rysunku:

proste równania trygonometryczne 4

Przykład 1

Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 30° dla trójkąta równobocznego o boku długości 1.

proste równania trygonometryczne 5

Przykład 2

Obliczanie funkcji trygonometrycznych dla kąta α, kiedy:

przyprostokątna b=3

przyprostokątna a=1

przeciwprostokątna c=proste równania trygonometryczne 6

a kąt leży pomiędzy przeciwprostokątną c, a przyprostokątną b.

Obliczamy sinusa kąta :

proste równania trygonometryczne 7

Obliczamy cosinusa kąta :

proste równania trygonometryczne 8

Obliczamy tangensa kąta :

proste równania trygonometryczne 9

Tablice trygonometryczne

Tablice trygonometryczne okazują się niezbędne przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Poniżej możesz zapoznać się z tabelą dokładnych wartości dla wybranych kątów. Z tablic trygonometrycznych możesz korzystać zarówno na lekcjach matematyki, jak i na egzaminie maturalnym.

 

sin cos tg ctg
0 1 0
30° proste równania trygonometryczne 10 proste równania trygonometryczne 11 proste równania trygonometryczne 12 pierwiastek z trzech
45° proste równania trygonometryczne 13 proste równania trygonometryczne 13 1 1
60° proste równania trygonometryczne 11 proste równania trygonometryczne 10 pierwiastek z trzech proste równania trygonometryczne 11
90° 1 0 0
180° 0 -1 0
270° -1 0 0
360° 0 1 0

 

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych – zasada koła

Niektórzy do rozwiązywania równań trygonometrycznych wykorzystują zasadę koła. Dla wielu jest to jeden z prostszych sposobów na rozwiązywanie równań trygonometrycznych. Aby móc z niego korzystać należy m.in. znać tabelę znaków funkcji trygonometrycznych, która wygląda następująco.

 

I II III IV
sin + +
cos + +
tg + +
ctg + +

 

Aby łatwiej zapamiętać które funkcje trygonometryczne są dodatnie w poszczególnych ćwiartkach, uczniowie uczą się popularnej formułki:

“w pierwszej (ćwiartce) wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus”

Trygonometria – zastosowania

Wartości funkcji trygonometrycznych zależą jedynie od wielkości odpowiedniego kąta. Nie ma więc znaczenia wielkość trójkąta prostokątnego. To z kolei sprawia, że trygonometria odnajduje zastosowanie w życiu codziennym. To właśnie dzięki niej możliwe jest obliczenie wysokości wszelkiego rodzaju obiektów, kiedy obliczeń nie możemy dokonać bezpośrednio. Sprawdzi się nawet do obliczenia ile metrów siatki będzie potrzebnych, jeśli na bramę wjazdową należy zostawić określoną długość.