Wyrażeniami wymiernymi nazywamy ułamki posiadające w liczniku oraz mianowniku wielomiany. W mianowniku takiego wyrażenia musi pojawić się wielomian przynajmniej 1-ego stopnia.

 

Równanie wymierne zapisujemy pod postacią:

W(x)P(x)=0

W(x)0

P(x)0

 

Przykłady równań wymiernych:

• x+1x+2=1x
• 2x+33x+8=0
• (x-5)2×2+x-1=0

Rozwiązywanie równań wymiernych

Dane jest równanie: 2x+33x+8=0

W pierwszej kolejności ustalamy, dla jakich liczb mianownik będzie różny od zera.

3x+80, czyli x-83

 

Powyższe równanie spełniają wszystkie te liczby, które spełniają założenie x-83 i dla których licznik jest równy zero.

2x+3=0, czyli x=-32

 

Liczba  -32 jest różna od -83, to znaczy, że jest ona rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie równania:  x=-32

 

Przekształcanie równania na W(x)P(x)=0 nie jest jedynym sposobem na znalezienie rozwiązania. Czasami możemy skorzystać z prostszego sposobu. Zapoznaj się z nim poniżej:

Dane jest równanie x-26x+3=-4

Założenie: 6x+30, czyli x-12

6x+30 – co znaczy, że obie strony równania można pomnożyć przez to wyrażenie:

x-26x+3=-4 /(6x+3)

x-2=-4(6x+3)

x=-24x+12-2

25x=10

x=-25

Liczba spełnia -25 założenie x-12, co znaczy, że rozwiązaniem równania jest x=-25.

Równania wymierne a wielomiany

Wyrażeniem wymiernym nazywamy ułamek posiadający w liczniku i mianowniku wielomiany. Jeśli nie opanowałeś dobrze wielomianów, rozwiązywanie równań wymiernych może przysporzyć Ci wielu problemów. Poniżej przedstawiamy Ci najważniejsze informacje o wielomianach, aby wiedza o równaniach wymiernych była bardziej rozbudowana.

 

Wielomiany – definicja 

Wielomianem określamy funkcję jednej zmiennej w potędze 3 lub wyższej. Co jednak ważne, wielomianem możemy także nazwać dwumian, a także jednomian. Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym, które składa się z jednej liczby bądź jednej czy kilku liter. Przykładami jednomianów są np. 6x, 102, 12a2

 

Dwumianem jest z kolei wyrażenie algebraiczne, które składa się z dwóch jednomianów. Są one ze sobą połączone znakiem dodawania lub odejmowania. Przykładami dwumianów są: x-3, 4×2+5x, x2+y

 

Kolejno możemy wymieniać także trójmiany (złożone z trzech jednomianów połączonych znakiem dodawania lub odejmowania), czworomian. Przyjęło się jednak, że zamiast dalszego wyliczania używamy po prostu określenia: wielomian.

 

Aby obliczyć wartości liczbowe wielomianów, należy podstawić w miejsce x podaną liczbę. Wielomiany obliczamy tak samo, jak wartości funkcji i wartości wyrażeń algebraicznych.

 

Przykład

W(x)=x2+3x-6

argument x=5

w(5)=52+35-6=25+15-6+=34