Wartość bezwzględną możemy określić jako odległość liczby rzeczywistej x od zera. Jako że odległości nie możemy podawać w formie ujemnej, wartość bezwzględna każdej liczby zawsze będzie liczbą dodatnią.

 

Wartość bezwzględna liczby x wygląda: wartość bezwzględna 1

Dla każdej liczby dodatniej wartością bezwzględną jest ta sama liczba dodatnia

Przykłady:

wartość bezwzględna 2

 

Dla liczb ujemnych wartością bezwzględną są liczby do nich przeciwne

Przykłady:

wartość bezwzględna 3

 

Dla zera wartość bezwzględna będzie równa zeru: wartość bezwzględna 4

Wartość bezwzględna – własności

  1. Gdy wartość bezwzględna 5 wartością bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej x będzie ta sama liczba rzeczywista x.
  2. Gdy x mniejsze od zera  wartością bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej x będzie liczba przeciwna do x, czyli -x.
  3. Definicja pierwiastka arytmetycznego, który zawsze jest nieujemny, mówi nam, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi: wartość bezwzględna 6

 

Oprócz powyższych warto znać także własności:

wartość bezwzględna 7

Wykres wartości bezwzględnej

Najprostszym sposobem na narysowanie wykresu wartości bezwzględnej jest sporządzenie tabeli, w której zaznaczymy wartości bezwzględne dla przykładowych wartości x. W praktyce wygląda to następująco:

 

wartość bezwzględna 8 -4 -2 0 2 4
wartość bezwzględna 9 4 2 0 2 4

 

Wystarczy teraz tylko zaznaczyć wyznaczone punkty na układzie współrzędnych i narysować wykres.

Wartość bezwzględna wyrażeń z x-em

Co jeśli wewnątrz wartości bezwzględnej znajduje się wyrażenie z x? Wówczas przy opuszczaniu wartości bezwzględnej należy rozpatrzyć dwa rozwiązania:

 

  1. Musisz opuścić wartość bezwzględną bez zmiany znaku dla x, dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe 0 lub jest większe od 0.
  2. Musisz opuścić wartość bezwzględną ze zmianą znaku dla x, dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest mniejsze od 0.

Równania z wartością bezwzględną

Posiadając równanie wartość bezwzględna 20, wiemy, że to, co znajduje się pod wartością bezwzględną, musi być równe liczbie b bądź liczbie, która jest przeciwna do b, czyli -b. Opuszczając wartość bezwzględną, możemy otrzymać więc dwa równania:
wartość bezwzględna 10
lub
wartość bezwzględna 11
Po ich rozwiązaniu otrzymujemy:
wartość bezwzględna 12
lub
wartość bezwzględna 13

 

Przykład

wartość bezwzględna 14
lub
wartość bezwzględna 15

wartość bezwzględna 16
wartość bezwzględna 17

Wartość bezwzględna – funkcje

Funkcja rzeczywistej wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie. Funkcja ta maleje w przedziale (wartość bezwzględna 18), a rośnie w przedziale (wartość bezwzględna 19). Zarówno liczba rzeczywista, jak i liczba do niej przeciwna posiadają tę samą wartość bezwzględną, co oznacza, że wspomniana funkcja jest parzysta, a zarazem nieodwracalna.