Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość. Tę wartość określamy najczęściej symbolem r i jest to inaczej różnica ciągu arytmetycznego.

 

Przykład:

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu wygląda następująco:

Dzięki powyższemu wzorowi na sumę możemy obliczyć n-ty wyraz ciągu. Możemy to zapisać za pomocą wzoru:

 

Liczby x, y, z w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. To oznacza, że zachodzi wzór:

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu, a także różnicę ciągu, możemy obliczyć wartość dowolnego (n-tego) wyrazu ciągu. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru:

 – pierwszy wyraz ciągu
r – różnica ciągu

 

Drugim wzorem na n-ty wyraz ciągu jest:

Tego wzoru używamy, gdy nie mamy podanego pierwszego wyrazu ciągu, ale jeden z środkowych wyrazów tego ciągu wyraz k-ty.

 

Przykład:

Mając podane dane:

=13
r=3

możemy wyznaczyć wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

 

Kiedy znamy tylko k-ty wyraz oraz różnicę, n-ty wyraz ciągu możemy obliczyć przy użyciu wzoru:

Suma pierwszych ciągów arytmetycznych

Aby obliczyć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, możemy skorzystać z wzoru:

lub

Z kolei przy dokonywaniu obliczeń sumy ciągu arytmetycznego od wyrazu k-tego do wyrazu n-tego możemy wykorzystać poniższy wzór:

 

Ciągi arytmetyczne w życiu codziennym

Choć możemy nie zdawać sobie z tego sprawy, ciągi arytmetyczne towarzyszą nam na co dzień. W końcu sytuacje powtarzające się cyklicznie dotyczą każdego z nas. Wystarczy, chociażby przeznaczać jeden, ten sam dzień tygodnia na trening, by otrzymać zapis w postaci ciągu arytmetycznego. Z jego pomocą możemy także opisać, że co 7 dni jest poniedziałek, co 12 miesięcy jest styczeń. Ciągiem arytmetycznym jest minimum trzywyrazowy ciąg, w którym każdy wyraz – począwszy od drugiego – powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego określonej liczby. Zależność tę możemy odnaleźć w wielu aspektach naszego życia.

 

Ciągi arytmetyczne pojawiają się także w kontekście nauk astronomicznych. Przykładem tego są daty zbliżeń komet do słońca. Niektóre z komet bowiem zbliżają się do Słońca co określoną ilość lat. Ciągi pojawiają się także w dziedzinach takich jak socjologia, ekonomia demografia czy nawet bankowość. Dużo łatwiej będzie nam je dostrzec, jeśli uświadomimy sobie, że ciągi arytmetyczne służą do opisywania zjawisk, w których pojawia się stały przyrost.