Wielomiany, podobnie jak wszystkie inne wyrażenia algebraiczne możemy dodawać i odejmować. W ich przypadku w pierwszej kolejności dodajemy do siebie współczynniki przy tych samych potęgach. Następnie przyporządkowujemy wielomian. Zapoznaj się z poniższym przykładem, aby zrozumieć schemat dodawania wielomianów.

 

Przykład 

Dane są wielomian:

W(x)=2×2+1

G(x)=3×4+3×2-2

W(x)+Q(x)=2×2+1+3×4+3×2-2=3×4+5×2-2

Stopień wielomianu to 4. Wynika on z wartości najwyższej potęgi przy x, która wynosi właśnie 4.

 

Stopniem wielomianu określamy z kolei najwyższy wykładnik potęgi zmiennej wielomianu. Ważne jest, by wielomian ten miał niezerowy współczynnik.

Jeśli w funkcji stałej W(x)=c, c0 t mamy do czynienia z wielomianem stopnia zerowego. Wielomian stopnia zerowego zawsze ma wartość stałą. Nie jest on zależny od x.

Wielomian – definicja

Aby w pełni zrozumieć zasadę dodawania wielomianów, wróćmy do samej definicji wielomianu. Wielomian to funkcja jednej zmiennej posiadająca 3 lub wyższą potęgę. Funkcje niższej potęgi są określane mianem funkcji liniowej lub kwadratowej. Co jednak ważne one również są wielomianami.

 

Jak rozpoznać kiedy nie mamy do czynienia z wielomianem? Zgodnie z definicją zmienna znajduje się w podstawie potęgi. Kiedy zmienna ta pojawi się w innym miejscu – np. w wykładniku – wówczas taka funkcja nie jest wielomianowa. Co ważne, gdy choć jedna składowa nie spełnia warunków narzuconych przez definicję – a więc jej zmienna znajduje się w innym miejscu – wówczas cała funkcja nie może już być wielomianem. Należy więc zwracać szczególną uwagę, nawet jeśli na pierwszy rzut oka wygląda na wielomian.

Odejmowanie wielomianów

Dodawanie nie jest jedynym działaniem, jakie możemy przeprowadzać na wielomianach. Oprócz niego wielomiany możemy również odejmować, a także dzielić.

 

Przykład odejmowania wielomianów 

Dane są wielomiany:

P(x)=5×2-7×2+11

Q(x)=2×3+6×2-4x

Odejmujemy wielomiany:

P(x)-Q(x)=5×3-7×2+11-2×3+6×2-4x=

= 5×3-2×3-7×2-6×2+4x+11=

=(5-2)x3+(-7-6)x2+4x+11=

=3×3-13×2+4x+11

Dzielenie wielomianów

Wielomian P(x) jest podzielny przez drugi wielomian Q(x) wyłącznie, gdy istnieje taki wielomian S(x) , który spełnia poniższe równanie:

P(x)=Q(x)S(x)

Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na mnożeniu każdego elementu wielomianu z każdym. Na sam koniec działań porządkujemy dany wielomian.

 

Przykład mnożenia wielomianów

Dane są wielomiany:

P(x)=3×2-x

Q(x)=-2×4+1

Wykonujemy mnożenie wielomianów:

P(x)Q(x)=(3×2-x)(-2×4+1)=

=-6×6+3×2+2×5-x=

=-6×6+2×5+3×2-x

stopień wielomianu wynikowego to 6