Dzielenie wielomianów może odbywać się z wykorzystaniem tradycyjnej metody lub przy użyciu schematu Hornera. Aby w pełni zrozumieć sposób dzielenia wielomianów, warto powrócić do samej definicji tego działania.

Podzielność wielomianów – najważniejsze definicje

Wielomian P(x) będzie podzielny przez wielomian Q(x) wyłącznie, gdy istnieje taki wielomian S(x), który spełnia równanie:

 

Ważne: Przy dzieleniu wielomianu przez inny wielomian istnieje możliwość otrzymania reszty z dzielenia. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x to W(a).

 

W(x) oraz P(x) są wielomianami, a dodatkowo P(x) nie jest wielomianem zerowym. W takim przypadku istnieją dwa takie wielomiany Q(x) i R(x) spełniające równanie:

w którym stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).

 

Wielomianem jest funkcja jednej zmiennej w potędze 3 bądź wyższej. Wielomian jednej zmiennej x ℝ to funkcja określona wzorem:

n ℕ- stopień wielomianu
ℝ- współczynniki wielomianu
 – wyraz wolny wielomianu
0-wyraz przy najwyższej potędze

 

Stopniem wielomianu nazywamy najwyższy wykładnik potęgi zmiennej wielomianu dla niezerowego współczynnika.

Jednomian a wielomiany

Jednomianem określamy wyrażenie algebraiczne, które składa się z jednej liczby i ewentualnie jednej lub kilku liter. Kolejno możemy wyróżnić dwumian, składający się z dwóch jednomianów, które są połączonych ze sobą znakiem dodawania, bądź odejmowania. Kolejno możemy wyliczać trójmiany itd., jednak dużo prościej jest używać określenia wielomiany. Już sam dwumian jest wielomianem.

Dzielenie wielomianów

1. Pierwszym krokiem podczas dzielenia wielomianów jest zapisanie wielomianów pod inną postacią:

• • wielomian przez dwumian
    

1. Następnie pierwsze składniki wielomianu dzielimy przez pierwszy składnik dwumianu.pierwszy składnik wielomianu:

   pierwszy składnik dwumianu: x

   

 

 

1. Wynik powyższego dzielenia: mnożymy przez dwumian. Wynik należy zapisać pod wielomianem.
   

 

1. W następnej kolejności należy wykonać odejmowanie: od wielomianu odejmujemy wielomian, który jest zapisany pod nim. Otrzymany wynik należy zapisać pod kreską.

 

1. Kolejne operacje wykonujemy tak samo jak poprzednie. W momencie, gdy uzyskamy wielomian o stopniu niższym, od tego, przez który dzielimy, algorytm się kończy.
   -1

 

1. Resztą z dzielenia wielomianu jest otrzymana liczba -1. Wielomian ten możemy zapisać pod postacią: