Zanim przejdziemy do sposobu obliczania miejsc zerowych funkcji kwadratowych, powróćmy do samych równań kwadratowych. Aby obliczyć miejsce zerowe, musimy bowiem potrafić rozwiązywać równania kwadratowe.

 

W równaniu kwadratowym niewiadoma pojawia się w drugiej potędze, najczęściej więc spotkamy zapis: x2. Aby rozwiązać równanie kwadratowe, należy wyznaczyć wszystkie liczby, które po podstawieniu pod x pozwolą nam uzyskać równość prawdziwą. Równanie kwadratowe nie musi mieć wyłącznie jednego rozwiązania. Możemy spotkać się z dwoma rozwiązaniami, a niektóre z równań mają zero rozwiązań.

 

Równanie kwadratowe – przykład rozwiązania

  1. Dane jest równanie x2+6x=-9

x2+6x=-9

x2+6x+9=0

a=1

b=6

c=9

=b2-4ac

=62-49=0

równanie ma jedno rozwiązanie:

x0=-b2a=-62=-3

 

Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie: x=-3

 

Powyższe równanie ma wyłącznie jedno rozwiązanie i jest nim x=-3

 

  1. Dane są równania: x2=4 oraz x2=7. Jak wygląda ich rozwiązanie?

x2=4

x=2 lub x=-2

Rozwiązanie równania to x=2 lub x=-2

 

x2=7

x=7 lub x=-7

7 jest liczbą niewymierną, dlatego rozwiązanie równanie pozostawiamy w takiej  postaci, jaka została przedstawiona powyżej: 7

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, dla którego wartość tej funkcji wynosi zero.

f(x)=0

 

Funkcja kwadratowa ma:

  • jedno miejsce zerowe, kiedy wyróżnik =0,
  • dwa miejsca zerowe, kiedy wyróżnik >0,
  • zero miejsc zerowych, kiedy wyróżnik <0.

 

Wyróżnik dla funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c obliczamy z następującego wzoru:

=b2-4ac

 

Z kolei miejsca zerowe obliczamy ze wzorów dla:

  • =0: x0=-b2a,
  • >0: x1=-b-2a, x2=-b+2a

 

Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej a miejsca zerowe

Funkcja kwadratowa może występować także w postaci iloczynowej. Wówczas znalezienie miejsc zerowych tej funkcji jest znacznie prostsze. Wystarczy bowiem odczytać je z samego wzoru funkcji kwadratowej.

 

Postać iloczynowa funkcji:

f(x)=4(x-x1)(x-x2)

miejscami zerowymi tej funkcji są: x1 i x2

Ważne: Odczytując miejsca zerowe z funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, zwróć szczególną uwagę na znaki pojawiające się we wzorze przed tymi miejscami zerowymi. Jeśli znajdzie się przed nimi znak +, to wartości tych miejsc zerowych są mniejsze od zera. Zapoznaj się z poniższym przykładem, aby w pełni to zrozumieć.

 

Przykład

f(x)=4(x+4)(x+10)

Miejsca zerowe powyższej funkcji: x1=-4, x2=-10

 

Postacie funkcji kwadratowej

Ta sama funkcja kwadratowa może zostać zapisana w różnej postaci. Do wyboru mamy trzy warianty:

  • postać ogólną,
  • postać kanoniczną,
  • postać iloczynową.

 

Poznałeś już postać ogólną i postać iloczynową funkcji kwadratowej. Jak wygląda w takim razie postać kanoniczna?

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f(x)=a(x-p)2+q

a,p,q – współczynniki liczbowe

p,q – współrzędne wierzchołka paraboli

a0