Aby zrozumieć, czym są nierówności kwadratowe, warto powrócić do definicji równości kwadratowych. W tych drugich mamy do czynienia ze znakiem równości (=). W przypadku nierówności spotkamy znaki takie jak: <,≤,>,≥

Nierówności kwadratowe a równania kwadratowe – wzór

nierówności kwadratowe 1
równanie kwadratowe,
występuje znak =

 

nierówności kwadratowe 2
nierówność kwadratowa,
występuje znak  <

Nierówności kwadratowe a równania kwadratowe – rozwiązania

Obliczając równania kwadratowe, mogliśmy uzyskać jedno, dwa lub zero rozwiązań. Jak to wygląda w przypadku nierówności kwadratowych? Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest najczęściej przedział liczbowy.

 

Przykłady

Równanie kwadratowe:

nierówności kwadratowe 3
powyższe równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania

nierówności kwadratowe 4

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, wykonaj cztery poniższe kroki:

  1. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej stronie pozostało wyłącznie 0.nierówności kwadratowe 5
  2. Lewa strona nierówności ma zostać rozwiązania tak samo jak wzór funkcji kwadratowej.nierówności kwadratowe 6
  3. Obliczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie – jeśli je posiada. Rysujemy jej wykres.nierówności kwadratowe 7
    Funkcja ma dwa miejsca zerowe
    nierówności kwadratowe 8

    nierówności kwadratowe 9
    Ramiona paraboli są skierowane do góry – współczynnik równania kwadratowe 1 jest dodatni.

  4. Odczytaj z wykresu rozwiązanie nierówności.
    Z powyższego rysunku wynika, że parabola przyjmuje wartości mniejsze od zera dla nierówności kwadratowe 10. Rozwiązaniem równania jest więc nierówności kwadratowe 10.

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Wiesz już, w jaki sposób rozwiązywać nierówności kwadratowe. Jak to jednak jest w przypadku równań kwadratowych? Dlaczego równania kwadratowe są tak ważne w kontekście nierówności kwadratowych? Warto najpierw poznać te pierwsze, nauczyć się jak je rozwiązywać oraz jak rysować wykres funkcji kwadratowych. Dzięki temu obliczanie nierówności będzie dużo prostsze.

 

Równanie kwadratowe zapisujemy pod postacią wzoru:

równanie kwadratowe - postać ogólnaaróżne od0
a,b,c należy do R – współczynniki równania kwadratowego
x należy do R  – zmienna

Sposób rozwiązania równania: nierówności kwadratowe 11
nierówności kwadratowe 12

 

równanie ma jedno rozwiązanie:

nierówności kwadratowe 13

 

Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie: nierówności kwadratowe 14

 

Przykład:

nierówności kwadratowe 15

Rozwiązanie równania to nierówności kwadratowe 16 lub nierówności kwadratowe 17

 

nierówności kwadratowe 18

7 jest liczbą niewymierną, dlatego rozwiązane równanie pozostawiamy w postaci takiej, jaka została przedstawiona powyżej: równania kwadratowe 17

 

W zależności od wartości a, równanie kwadratowe może mieć:

  • jedno rozwiązanie,
  • dwa rozwiązania,
  • nie mieć wcale rozwiązań.

 

  1. jeśli a równe zero, to równanie ma jedno rozwiązanie: równania kwadratowe 8,
  2. jeśli a większe, to równanie ma dwa rozwiązania: nierówności kwadratowe 19 i nierówności kwadratowe 20,
  3. jeśli a mniejsze, to równanie nie ma rozwiązania.