Funkcję kwadratową możemy zapisać, posługując się postacią kanoniczną. Aby lepiej zrozumieć postać kanoniczną, warto przypomnieć sobie najważniejsze informacje o funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa – definicja

Funkcja kwadratowa (f) to taka funkcja, w której wzorze:

• musi występować ,
• może występować x,
• może występować liczba stała.

Współczynnik przy czynniku w funkcji kwadratowej musi być różny od zera. Czynniki b oraz c mogą być dowolne – mogą być również zerami.

 

Ogólny wzór funkcji kwadratowej:

aR\{0}
b,cR
a, b i c są współczynnikami funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Zapis funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej wygląda następująco:

a, p, q – współczynniki liczbowe
a0

 

Po współczynniku a w funkcji w postaci kanonicznej możemy określić czy ramiona paraboli są skierowane do góry, czy w dół. Jeśli:

• a > 0, to ramiona paraboli są skierowane do góry,
• a < 0, to ramiona paraboli są skierowane w dół.

 

Dzięki postaci kanonicznej funkcji kwadratowej możemy ułatwić sobie odczytywanie zbioru wartości funkcji i współrzędnych wierzchołka paraboli. p i q są bowiem współrzędnymi wierzchołka.

W – wierzchołek
p,q – współrzędne wierzchołka

 

Kiedy mamy podaną postać ogólną funkcji, współrzędne wierzchołka możemy obliczyć, korzystając ze wzorów:

Oznacza to, że postać kanoniczna wygląda następująco:

Wzór funkcji w postaci kanonicznej – jak zapisać?

Aby zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej, w pierwszej kolejności odczytaj ze wzoru ogólnego funkcji wartości współczynników. Kiedy posiadasz a, b, c oblicz wyróżnik funkcji korzystając ze wzoru na .

Następnie oblicz wartości p i q, podstawiając do wzorów posiadane dane, czyli a, b, c oraz .

Ostatnim etapem jest podstawienie obliczonych wartości do wzoru na postać kanoniczną funkcji:

 

Przykład

Oblicz wyróżnik funkcji

Oblicz wartość p i q.

Podstaw obliczone wartości do wzoru na postać kanoniczną.

Postać kanoniczna nie tylko w matematyce

Z postacią kanoniczną spotykamy się nie tylko w matematyce i w znanej Ci funkcji kwadratowej, którą możemy zamienić właśnie na postać kanoniczną. Ten sposób przedstawiania obiektu jako wyrażenia algebraicznego wykorzystywany jest także w informatyce – w algebrze komputerowej. Postać kanoniczna w algebrze komputerowej oznacza takie przedstawienie, dzięki któremu każdy obiekt ma swoją unikatową reprezentację. Dzięki postaci kanonicznej możemy w prosty sposób sprawdzić równość dwóch obiektów. Zrobimy to właśnie poprzez sprowadzenie ich do postaci kanonicznej. Proces, w którym zamieniamy obiekt na postać kanoniczną, jest określany normalizacją.