Suma n początkowych wyrazów ciągu anjest oznaczana symbolem Sn. Ciąg ten wygląda następująco:

Sn=a1+a2+a3+…+an

 

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej pierwszego oraz ostatniego wyrazu, pomnożonej przez liczbę wyrazów. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego zapisujemy następująco:

Sn=(a1+an)n2

 

Wiedząc, że: an+(n-1)r powyższy wzór możemy zapisać następująco:

Sn=(a1+an)n2

Sn=[a1+a1+(n-1)r]n2=2a1+(n-1)r2n

 

Przykład 

Dany jest ciąg arytmetyczny o wzorze: an=3n+1. Naszym zadaniem jest obliczenie sumy pierwszych 20 wyrazów tego ciągu arytmetycznego.

 

Pierwszym krokiem do obliczenia sumy pierwszych 20 wyrazów tego ciągu jest obliczenie pierwszego wyrazu ciągu.

a1=31+1

a1=4

 

Następnie obliczamy 20 wyraz ciągu przez podstawienie do wzoru.

a20=320+1

a20=61

 

Ostatni krok to podstawienie obliczonych wcześniej danych do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

Sn=a1+a20220=4+61220=65220=6510=650

 

Suma pierwszych 20 wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 650.

Ciąg arytmetyczny – najważniejsze informacje

Aby nauczyć się obliczania sumy wyrazów ciągu arytmetycznego, niezbędne będzie opanowanie najważniejszych pojęć i wzorów dotyczących samego ciągu arytmetycznego.

 

Ciąg liczbowy an możemy nazwać ciągiem arytmetycznym, jeśli istnieje taka liczba r, dzięki której każdy wyraz ciągu – poza pierwszym – powstaje w wyniku dodania tej liczby do wyrazu poprzedniego. Definicję tę możemy zapisać następująco:

an+1=an+r

r – różnica ciągu

nℕ+

 

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego, który posiada pierwszy wyraz a1i różnicę r zapisujemy:

an=a1+(n-1)r

 

Ciąg arytmetyczny może być: rosnący, malejący lub stały.

Jeśli:

• r>0, to ciąg arytmetyczny o różnicy r jest rosnący,
• r<0, to ciąg arytmetyczny o różnicy r jest malejący,
• r=0, to ciąg arytmetyczny o różnicy r jest stały.

 

Liczby oznaczone symbolami a1,a2, a3 to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: a2-a1=a3-a2

 

Średnia arytmetyczna 

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego – poza pierwszym – stanowi średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Możemy to zapisać następująco:

an=an-1+an+12

n2

 

Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić, czy różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami tego ciągu jest stała. 

 

Przykład

Dany jest ciąg an=(n-2)3+2. Należy sprawdzić, czy jest t ciąg arytmetyczny. Trzy początkowe wyrazy tego ciągu to: 1, 2, 3.

a2-a1=a3-a2

Nie będzie to jednak ciąg arytmetyczny. Gdy obliczymy czwarty wyraz ciągu, będzie nim liczba 10. To oznacza, że a4-a3a3-a2